Векторнай төгүллээһин

Векторнай төгүллээһин икки вектордары үс өрүттээх евклидовай куйаарга, вектор утары иккиэннэрин төрүт вектордарын уонна кини уһуна параллелограмм иэнигэр тэҥ, оҥоһуллубут төрүт вектордарынан, онтон иккиэннэриттэн хайысхатын таллыллыыта үстүү бэрээдэгинэн утуу-субуу турар векторнай төгүллээһининэн уонна уҥа өттүттэн тахсар вектор буолар.

Коллинеарнай вектордары векторнай төгүллээһининэн (чааһынайынан, биир эмит төгүллүүрэ- нулевой вектор буоллаҕына) нулевой векторга тэҥнээҕинэн ааҕыллар. Онон, икки векторнай төгүллээһини быһаарыыга, куйаарга хайысхатын ыйар булгуччулаах, эбэтэр эттэххэ, ханнык үс вектордартан хайата уҥа, хайата хаҥас буоларын. Ол гынан баран, көрүллэр куйаарга ханнык эмит координатнай система сорудахха эбэһээтилинэй буолбатах. Куйаарга бэриллибит хайысхаҕа векторнай төгүллээһин түмүгэ көрүллэр системнай координатата уҥатыттан эбэтэр хаҥаһыттан тутулуга суох.Онуоха тахсыбыт формула векторнай төгүллээһин координаталара бэриллибит координаттар нөҥүө уҥа уонна хаҥас нуормаламмыт орто көнө муннук координатнай систематыгар бэлиэтэ атын. Векторнай төгүллээһин коммутативнас уонна ассоциативнас өҥөлөрүнэн баһылаабат. Кини антикоммунативнай буолар уонна вектордар скалярнай төгүллээһиннэрин уратытынан, түмүгэ эмиэ вектор буолар.

Перпендикулярнай вектордар туһалаах «кээмэйдэрэ»- икки векторнай төгүллээһин модуллара кинилэр икки модуллара төгүллэммит көрүҥэр тэҥ, кинилэр перпендикулярнай буоллахтарына уонна нуулга дылы кыччыыр эбэтэр вектордар коллинеарнай буоллахтарына.

Киэҥник уонна элбэхтик техническай, физическай сыһыарыыларга тутталлар.Холобура, импульс түгэнэ уонна Лоренц күүһэ (ааҥл. Lorentz force) математическай суруллуутугар векторнай төгүллээһин көрүҥүн курдук.

Историята

Векторнай төгүллээһини У.Гамильтон 1846 сыллаахха^[1] бииргэ скалярнай төгүллээһини кватернионамы кытта сибээстээн, икки векторнай уонна скалярнай төгүллээһин көрүҥнэрин икки кватернионнара, скалярнай көрүҥэ нуулга тэҥнэһэр^[2].

Быһаарыы

Векторнай төгүллээһин вектора ${\vec {a}}$ вектор ${\vec {b}}$ үс эргимтэлээх евклидовай куйаарга ${\vec {c}}$ вектор ааттанар, маннык көрдөбүллэргэ эппиэттиир:

${\vec {c}}$ вектор уһуна ${\vec {a}}$ уонна ${\vec {b}}$ уһуннарын төгүллээһинигэр тэҥнэһэр синус муннук кинилэр икки ардыларыгар (т.е. параллелограмм иэнигэр, ${\vec {a}}$ уонна ${\vec {b}}$ вектордар оҥорбуттарыгар);
${\vec {c}}$ вектор ортогональнай хас биирдии ${\vec {a}}$ уонна ${\vec {b}}$ вектордарга;
${\vec {c}}$ вектор хаҕысхата үс вектордарга ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ туһаайыллан уҥа өттө буолан турар.

Бэлиэтээһинэ:

{\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.

Бэлиэтээһин

Кэлин быһаарыыга векторнай төгүллээһиҥҥэ салҕыы суруллубут этиини уҥа эбэтэр хаҥас координатордары көнө муннуктаах координатнай системаҕа туттуохха сөп.

Ол курдук алгебраическай көрүҥнээх векторнай төгүллээһиҥҥэ быһаарыыны туһаныахха сөп.

Уҥа уонна хаҥас үс вектордар үс өрүттээх евклидовой куйаарга

Көрүөҕүҥ сааһыламмыт үс некомпланарнай (көнө тутулуга суох) ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ вектордары үс өрүттээх евклидовай куйаарга. Маннык хайысхаламмыт куйаарга үс вектордар "уҥа" эбэтэр "хаҥас" буолуохтарын сөп.

Геометрическай быһаарыы

Вектор саҕаланыытын биир туочукаҕа тэҥниэххэ. Сааһыламмыт үс некомпланарнай ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ вектордар үс өрүттээх куйаарга уҥа өттө, өскөтүн ${\vec {c}}$ вектор бүтэһигэ чугас эргиирэ ${\vec {a}}$ вектортан ${\vec {b}}$ векторга кэтээн көрөөччүгэ чаһы төттөрү эргииринэн көстөр. Эбэтэр төттөрү, өскөтүн чугас эргиир чаһы эргийэрин устун көстөр буоллаҕына, үһүөн хаҥастар диэн ааттаналлар.

Илии көмөтүнэн быһаарыы

Атын быһаарыы киһи уҥа илиитин кытта сибээстээх, ол иһин аатын онтон ылбыт. Уруһууйга үс ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ , ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ вектордар уҥа буолаллар.

Алгебраическай быһаарыы

Аналитическай ньыманы тутуһан уҥа уонна хаҥас үс вектордары быһаарыллар, ол сорудахха уҥа уонна хаҥас системнай координаттары куйаарга көрүү, ол гынан баран эбэһээтиннэ көнө муннук эбэтэр ортонормированнай диэн буолуо суохтаах.

Матрица оҥорор суолталаах, бастакы строкаҕа ${\vec {a}}$ вектор, иккис- ${\vec {b}}$ вектор, үһүс- ${\vec {c}}$ вектор. Ол кэннэ, бэлиэ быһаарыытынан бу матрицаҕа маннык түмүктэри оҥоруохха сөп:

Өскөтүн быһаарыы эбиилээх буоллаҕына, оччоҕо үс вектор система координататын курдук, оннук тутуһуулаах буолар.
Өскөтүн быһаарыы көҕүрэтиилээх буоллаҕына , оччоҕо бу үс вектор тутулуга система координататыгар утары суолталаах буолар.
Өскөтүн быһаарыы нуулга тэҥнэһэр, оччоҕо вектордар компланарнайдар (көнө тутулуктаахтар).

Бэлиэтээһин

"Уҥа" уонна "Хаҥас" бу үс векторы быһаарыы куйаар хаҕысхатыттан тутулуктаах, ол гынан баран куйаар система координататыгар көрүллэр сорудах ирдэниллибэт, ол курдук векторнай төгүллээһин быһаарыыта ирдэниллибэт.

Бары уҥа өттө бэйэ бэйэлэрин кытта (уонна хаҥастара бэйэ бэйэлэрин кытта) үс вектордар биир тутулуктаахтар диэн ааттаналлар.

Бэриллибит тутулук куйаарга координатнай системаҕа уҥа (хаҥас) диэн ааттанар, өскөтүн бу үс вектордаттан координаттара $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ буоллаҕына уҥа (хаҥас).

Геометрическэй быһаарыы уонна илии көмөтүнэн быһаарыы бэйэлэрэ куйаарга хайысхатын биэрэллэр. Алгебраическай быһаарыы үс некомпланарнай вектордары икки кылааска икки биир хайысхалаах вектордарга хайдыһарыгар ньыма биэрэр, ол гынан баран куйаарга хайысҕа биэрбэт эрээри, урут бэриллибит хайысхатын тутуһар, онно олоҕуран бу бэриллибит система координататыгар уҥанан уонна хаҥаһынан ааҕыллар.

Ол гынан баран, өскөтүн хайысха координат систематыгар биллибэт буоллаҕына,быһаарыы бэлиэтин атын үс некомпланарнай вектордар быһаарыы бэлиэлэрин кытта тэҥниэххэ сөп, хайысхата биллэр- бэлиэлэрэ сөп түбэһэр буоллаҕына, оччоҕо үһүөн биир хайысхалаахтар, өскөтүн бэлиэлэрэ утары буоллаҕына- үһүөн утары хайысхалаахтар.

Уратыта

Векторнай төгүллээһин геометрическай уратылара

Коллинеарность сөптөөх көрдөбүлүгэр уонна булгуччулаах услуобуйатыгар эппиэттиир икки нулевой вектордарга кинилэр векторнай төгүллэрэ нуулга тэҥнэһии буолар.
Векторнай төгүллээһин модуля $[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]$ параллелограмм $S$ тэҥнэһэр, ${\vec {a}}$ уонна ${\vec {b}}$ вектордар тутуллубут уопсай биир сиртэн саҕаланар саҕаланыыларыттан (см. Рисунок 1). [[Файл:Cross product parallelogram.svg|сигэ=|250x250пкс]] Рисунок 1: Параллелограмм болуоссата векторнай төгүллээһин модулугар тэҥнэһэр.
Өскөтүн ${\vec {e}}$ — соҕотох вектор, ${\vec {a}}$ уонна ${\vec {b}}$ ортогональнай вектордарга уонна ураты талыллыбыт үс ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}$ - уҥалар, онтон $S$ - параллелограмм болуосата кинилэр үрдүлэригэр тутуллубут (биир саҕалааһыҥҥа аҕылыллыбыт), оччоҕо бу векторнай төгүллээһиҥҥэ сөптөөх формула: $[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.$

Өскөтүн ${\vec {c}}$ - ханнык эмит вектор, $\pi$ - ханнык баҕарар хаптал, бу вектор кини иһигэр сытар, ${\vec {e}}$ - соҕоток вектор, $\pi$ хапталга сытар уонна ортогональнай вектор кинилэргэ ${\vec {c}}$ , ${\vec {g}}$ - соҕоток вектор, ортогональнай $\pi$ хапталга уонна маннык хайыһыллыбыт үс вектордарга ${\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}$ уҥа буолаллар, оччоҕо ханнык баҕарар сытар $\pi$ хапталга ${\vec {a}}$ векторга кырдьыктаах формула:

[{\vec {a}},\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec {c}}|\cdot {\vec {g}}.

Векторнай уонна скалярнай төгүллээһиҥҥэ туттууга параллелепипед сабардамын көҕүрэтиэххэ сөп, a, b уонна c вектордар тутуллубут уопсай саҕалааһыннарыгар. (көр.Уруһууй 2). Маннык үс төгүллэммит вектордар смешаннайдар диэн ааттаналлар.

V=|\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle |.

Бу уруһууйга көрдөрүллүбүт сабардамы икки ньыманан булуохха сөп: "скалярнай" уонна "векторнай" төгүллээһиннэри оннуларын уларыттахха даҕаны, геометрическай түмүк бэйэтэ уларыйбат:

V=\langle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle .

Векторнай төгүллээһин киэбэ бэриллибит вектордар синус муннуктарыттан тутулуктаах, ол иһин векторнай төгүллээһин "перпендикулярность" степенин курдук ылыныллар, ол курдук скалярнай төгүллээһин "параллельность" степенин курдук көрүөххэ сөп.

Икки соҕоток вектордар вектордарын төгүллээһинэ 1 тэҥ (соҕоток векторга), өскөтүн саҕаланар вектордар перпендикулярнай буоллахтарына уонна 0 тэҥ (нулевой вектор), өскөтүн вектордар паралельнайдар эбэтэр утары паралельнай буоллахтарына.

Бэлиэтээһиннэр

↑ Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
↑ Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.

Туттуллубут айымньылар

Кочин Н.Е. Векторнай ааҕыы уонна тензорнай ааҕыы саҕаланыыта. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

Сигэлэр

Элбэх өрүттээх векторнай төгүллээһиннэр Архыыптаммыт 2015, Балаҕан ыйын 5 күнүгэр.
Векторнай төгүллээһин уонна кини уратылара. Соруктары суоттуур холобурдар
В. И. Гервидс. Уҥа уонна хаҥас эргиирдэр (flash). НИЯУ МИФИ (10.03.2011). — Физическэй көрдөрүүлэр. Тургутулунна 3 Ыам ыйын 2011.

[1] Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101

[2] Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.

[1]

[2]